Questions in this chapter

$\varphi$ একটি স্কেলার অপেক্ষক যেখানে $\varphi=3 x^{2} y z+4 x y z+$ $2 y z^{3}$ এবং $\vec{V}$ একটি ভেক্টর অপেক্ষক যেখানে $\vec{V}=4 x y^{3} z \hat{i}-$ $3 x^{3} y z \hat{j}+5 x y z^{2} \hat{k}$

গ. $\vec {V}$ এর কার্ল নির্ণয় কর।

${\varphi}$ একটি স্কেলার অপেক্ষক যেখানে $\varphi=3 x^{2} y z+4 x y z+$ $2 y z^{3}$ এবং $\vec{V}$ একটি ভেক্টর অপেক্ষক যেখানে $\vec{V}=4 x y^{3} z \hat{i}-$ $3 x^{3} y z \hat{j}+5 x y z^{2} \hat{k}$ ।

ঘ. উদ্দীপকের আলোকে বিশ্লেষণ করে দেখাও কীভাবে একটি স্কেলার ক্ষেত্রকে ভেক্টর ক্ষেত্রে উত্তরণ করা যায় এবং একটি ভেক্টর ক্ষেত্রকে স্কেলার ক্ষেত্রে রূপান্তর করা যায়।

কোনো এক বিন্দুতে একই সময় 10 N এবং 6 N মানের দুটি ভেক্টর 60° কোণে ক্রিয়া করলে ভেক্টর দুটির লব্ধির মান নির্ণয় করো।

একটি নদীর স্রোতের বেগ $5 \mathrm{kmh}^{-1}$। স্রোতের সাথে 60° কোপে $4 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগের একটি নৌকা চালনা করলে নৌকা প্রকৃতপক্ষে কত বেগে কোন দিকে চলবে?

একই বিন্দুতে ক্রিয়াশীল দুটি সমান মানের ভেক্টরের মধ্যবর্তী কোণ কত হলে এদের লব্ধির মান যেকোনো একটি ভেক্টরের মানের সমান হবে?

কোনো বস্তুকে 10 N বলে দক্ষিণ দিকের সাথে 30° কোণে পশ্চিম দিকে টানা হলে বলের দক্ষিণমুখী ও পশ্চিমমুখী উপাংশের মান কত?

একটি নদীতে স্রোতের বেগ $5\ \mathrm{kmh}^{-1}$। একটি নৌকাকে $10\ \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে চালনা করা যায়। কোন দিকে নৌকা চালালে অপর পারে ঠিক সোজাসুজি পৌঁছা যায়?

$\overrightarrow{\mathrm{A}}=3 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=2 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{C}}=-\hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{k}$

$\begin{array}{l}\text{(i) } |\vec{C}|= \text{ ?}\\\text{(ii) } |\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}|= \text{ ?}\\\text{(iii) } |2 \overrightarrow{\mathrm{A}}-3 \overrightarrow{\mathrm{B}}-5 \overrightarrow{\mathrm{C}}|= \text{ ?}\end{array}$

$\vec{A}=2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=\hat{i}+2 \hat{\jmath}+3 \hat{k}$ । $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর লব্ধি ভেক্টরের সমান্তরাল একক ভেক্টরটি নির্ণয় কর।

দেখাও যে, $\vec{A}=2 \hat{\mathrm{i}}+4 \hat{\mathrm{j}}+7 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{B}}=3 \hat{\mathrm{i}}-5 \hat{\mathrm{j}}+2 \hat{k}$ ভেক্টর দুটি পরস্পর সমকোণে অবস্থিত।

$\overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{B}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ হলে $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

$\vec{A}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=m \hat{i}+2 \hat{j}+10 \hat{k}$ । m এর মান কত হলে $\vec {A}$ ও $\vec {B}$ ঐ পরস্পরের উপর লম্ব হবে।

দুটি ভেক্টর $\vec{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+6 \hat{k}$ ভেক্টর গুণফল এবং মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

$\vec{A}=\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}, \overrightarrow{\mathrm{B}}=3 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathbf{C}}=2 \hat{i}-3 \hat{j}+$ $4 \hat{k}$ প্রমান কর যে , $(\vec{B}+\vec{C}) \times \vec{A}=\vec{B} \times \vec{A}+\vec{C} \times \vec{A}$

$\overrightarrow{\mathrm{p}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{Q}=3 \hat{i}-6 \hat{j}+3 \hat{k}$ হলে দেখাও যে, $\vec{P}$ ও $\vec{Q}$ পরস্পর সমান্তরাল ।

$\vec{\mathrm{A}}=\hat{\mathrm{i}}-3 \hat{\mathrm{j}}+5 \hat{\mathrm{k}}$ এবং $\vec{B}=\mathrm{m} \hat{i}+6 \hat{j}-10 \hat{k}$ । m এর মান কত হলে ভেক্টরদ্বয় পরস্পর সমান্তরাল হবে?

$\overrightarrow{\mathrm{p}}=4 \hat{\mathrm{i}}-4 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{Q}}=2 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরদ্বয় - একটি সামন্তরিকের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করলে এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় কর।

$\overrightarrow{\mathrm{P}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}-4 \hat{\mathrm{k}}, \overrightarrow{\mathrm{Q}}=-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{k}}$ ভেক্টরদ্বয় যে সমতলে অবস্থিত তার লম্বদিকে একটি একক ভেক্টর নির্ণয় কর।

প্রমাণ কর যে, $(\vec{A} \cdot \vec{B})^{2}+|\vec{A} \times \vec{B}|^{2}=A^{2} B^{2}$

$\vec{A}=5 \hat{\mathbf{i}}-2 \hat{j}+6 \hat{k}, \vec{B}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-6 \hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{C}}=\hat{\mathrm{i}}+\mathrm{m \mathrm { k }}$ $+3 \hat{j}$ । m এর মান কত হলে সামান্তরিকের আয়তন 9 ঘন একক হবে?