Questions in this chapter

চিত্রে সিলিন্ডার আকৃতি দণ্ডের ভর $5 \mathrm{~kg}$ এবং ব্যাসার্ধ $10 \mathrm{~cm.}$ উভয় চিত্রের দণ্ড ঘূর্ণন অক্ষের সাপেক্ষে $1 \mathrm{~rads}^{-1}$ বেগে ঘুরছে।

ঘ. উদ্দীপকের কোন দণ্ডটি থামাতে অধিক বাধার সম্মুখীন হতে হবে? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করো।

$500 \mathrm{~m}$ ব্যাসার্ধের একটি রেললাইনের বাকে মিটারগেজ ও ব্রডগেজ উভয় ধরনের রেলাইন আছে। মিটারগেজ রেললাইনের দুই পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব $1 \mathrm{~m},$ ভতরের পাত অপেক্ষা বাইরের পাত $6 \mathrm{~cm}$ উঁচু এবং ব্রডগেজ রেললাইনের দুই পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব $1.3 \mathrm{~m}$ ভিতরের পাত অপেক্ষা বাইরের পাত $11 \mathrm{~cm}$ উচু।

গ. উদ্দীপকের মিটারগেজ রেললাইনের ব্যাংকিং কোণ নির্ণয় করো।

$500 \mathrm{~m}$ ব্যাসার্ধের একটি রেললাইনের বাকে মিটারগেজ ও ব্রডগেজ উভয় ধরনের রেলাইন আছে। মিটারগেজ রেললাইনের দুই পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব $1 \mathrm{~m},$ ভতরের পাত অপেক্ষা বাইরের পাত $6 \mathrm{~cm}$ উঁচু এবং ব্রডগেজ রেললাইনের দুই পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব $1.3 \mathrm{~m}$ ভিতরের পাত অপেক্ষা বাইরের পাত $11 \mathrm{~cm}$ উচু।

ঘ. উদ্দীপকের বাঁকে কোন ধরনের লাইনে ট্রেন দ্রুত নিরাপদে অতিক্রম করতে সক্ষম হবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

মিটার গেজ ও ব্রড গেজ রেললাইনের দুটি পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব যথাক্রমে $0.8 \mathrm{~m} ~ও~ 1.3 \mathrm{~m}$। যে স্থানে বাঁকের ব্যাসার্ধ $500\mathrm{~m}$ স্থানে লাইনগুলোর মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য যথাক্রমে $7.00 \mathrm{~cm}$ এবং $11.37 \mathrm{~cm}$।

গ. প্রথম লাইনের ব্যাংকিং কোণ কত?

মিটার গেজ ও ব্রড গেজ রেললাইনের দুটি পাতের মধ্যবর্তী দূরত্ব যথাক্রমে $0.8 \mathrm{~m} ~ও~ 1.3 \mathrm{~m}$। যে স্থানে বাঁকের ব্যাসার্ধ $500\mathrm{~m}$ স্থানে লাইনগুলোর মধ্যে উচ্চতার পার্থক্য যথাক্রমে $7.00 \mathrm{~cm}$ এবং $11.37 \mathrm{~cm}$।

ঘ. কোন লাইনে রেলগাড়ী অধিক দ্রুততার সাথে বাঁক নিতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মন্তব্য করো।

চিত্রে $500 \mathrm{~gm}$ ভরের $\mathrm{AB}$ সরু দণ্ডটি এর দৈর্ঘ্যের মধ্যবিন্দুতে লম্বভাবে গমনকারী অক্ষ $\mathrm{PQ}$ এর সাপেক্ষে প্রতি মিনিটে $30$ বার করে ঘুরছে।

ঘ. $\mathrm{XY}$ অথবা $\mathrm{PQ}$ কোন অক্ষের সাপেক্ষে দণ্ডটির জড়তার ভ্রামক বেশি হবে? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

চিত্রে $500 \mathrm{~gm}$ ভরের $\mathrm{AB}$ সরু দণ্ডটি এর দৈর্ঘ্যের মধ্যবিন্দুতে লম্বভাবে গমনকারী অক্ষ $\mathrm{PQ}$ এর সাপেক্ষে প্রতি মিনিটে $30$ বার করে ঘুরছে।

গ. $\mathrm{PQ}$ অক্ষের সাপেক্ষে দণ্ডটির কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় করো।

একটি রাস্তা $115 \mathrm{~m}$ ব্যাসার্ধে বাঁক নিয়েছে। ঐ স্থানে রাস্তাটি $5 \mathrm{~m}$ চওড়া এবং ভেতরের কিনারা হতে বাইরের কিনারা $0.04 \mathrm{~m}$ উঁচু। রাস্তার ঘর্ষণ সহগ $0.2$ এবং ঐ স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$।

গ. রাস্তার ব্যাংকিং কোণ নির্ণয় করো।

একটি রাস্তা $115 \mathrm{~m}$ ব্যাসার্ধে বাঁক নিয়েছে। ঐ স্থানে রাস্তাটি $5 \mathrm{~m}$ চওড়া এবং ভেতরের কিনারা হতে বাইরের কিনারা $0.04 \mathrm{~m}$ উঁচু। রাস্তার ঘর্ষণ সহগ $0.2$ এবং ঐ স্থানে অভিকর্ষজ ত্বরণ $\mathrm{g}=9.8 \mathrm{~ms}^{-2}$।

ঘ. যদি ঐ বাঁকে ব্যাংকিং না থাকে তবে সর্বোচ্চ কত বেগে ঐ স্থানে নিরাপদে বাঁক নেওয়া সম্ভব?- গাণিতিকভাবে যাচাই করো।

নিচের চিত্র-১ এ একটি বৃত্তাকার চাকতির কেন্দ্র দিয়ে পাতের অভিলম্বভাবে $\rm{AB}$ অক্ষ দণ্ডটি এবং চিত্র-২ চাকতির পাতের সমতলে ব্যাসের মধ্য দিয়ে $\rm{PQ}$ অক্ষ দণ্ডটি আছে। প্রতিটি পাতের ভর $\mathrm{m}=2 \mathrm{~kg}$ এবং ব্যাসার্ধ $\mathrm{r}=1 \mathrm{~m}$।

গ. $\rm{AB}$ অক্ষের সাপেক্ষে চাকতির জড়তার ভ্রামক মান বের করো।

নিচের চিত্র-১ এ একটি বৃত্তাকার চাকতির কেন্দ্র দিয়ে পাতের অভিলম্বভাবে $\rm{AB}$ অক্ষ দণ্ডটি এবং চিত্র-২ চাকতির পাতের সমতলে ব্যাসের মধ্য দিয়ে $\rm{PQ}$ অক্ষ দণ্ডটি আছে। প্রতিটি পাতের ভর $\mathrm{m}=2 \mathrm{~kg}$ এবং ব্যাসার্ধ $\mathrm{r}=1 \mathrm{~m}$।

ঘ. পাত দুটিতে সমপরিমাণ টর্ক প্রয়োগ করলে এদের মধ্যে একই ঘূর্ণন সৃষ্টি হবে কি? গাণিতিক ব্যাখ্যা দাও।

একজন চালক গাড়ির চাকা খারাপ হলে চাকা পরিবর্তন করার জন্য রেঞ্জ দিয়ে জ্যাক-স্ক্রুকে ঘুরানোর সময় কোনো এক মুহূর্তে প্রযুক্ত বলকে $\vec{F}=(8 \hat{i}+5 \hat{j}-5 \hat{k}) N$ এবং ঘূর্ণন অক্ষ হতে বলের ক্রিয়া বিন্দুর দূরত্ব $\vec{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}) \mathrm{m}$ দ্বারা প্রকাশ করা হলো। গাড়ির ভর 2000 kg। ঘটনাস্থলে রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ 5 m এবং রাস্তার প্রস্থ 3m । রাস্তার সর্বোচ্চ ঘর্ষণ বল $40 \mathrm{~N} \mathrm{~kg}^{-1}$।

গ. স্ক্রুটি ঘোরানোর সময়ে প্রযুক্ত টর্ক কত?

একজন চালক গাড়ির চাকা খারাপ হলে ঢাকা পরিবর্তন করার জন্য রেঞ্জ দিয়ে জ্যাক-স্ক্রুকে ঘুরানোর সময় কোনো এক মুহূর্তে প্রযুক্ত বলকে $\vec{F}=(8 \hat{i}+5 \hat{j}-5 \hat{k}) N$ এবং ঘূর্ণন অক্ষ হতে বলের ক্রিয়া বিন্দুর দূরত্ব $\vec{\mathrm{r}}=(\hat{\mathrm{i}}+\hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}}) \mathrm{m}$ দ্বারা প্রকাশ করা হলো। গাড়ির ভর 2000 kg। ঘটনাস্থলে রাস্তার বাঁকের ব্যাসার্ধ 5 m এবং রাস্তার প্রস্থ 3m । রাস্তার সর্বোচ্চ ঘর্ষণ বল $40 \mathrm{~N} \mathrm{~kg}^{-1}$।

ঘ. উদ্দীপকের রাস্তাটির ভিতরের প্রান্ত অপেক্ষা বাহিরের প্রান্ত কত উঁচু হলে গাড়িটি সম্ভাব্য সর্বোচ্চ বেগে নিরাপদে বাঁক নিতে পারবে—গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

1 m এবং 0.707 m দৈর্ঘ্যের দুটি সরু সুষম দণ্ডের ভরদ্বয় যথাক্রমে 10 kg এবং 20 kg এদের উভয়ই দৈর্ঘ্যের সাথে লম্বভাবে স্থাপিত এবং মধ্যবিন্দুগামী অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিমিনিটে যথাক্রমে 300 বার এবং 360 বার একটি মোটরের সাহায্যে সম-কৌণিক বেগে ঘুরছে। মোটরটি বন্ধ হয়ে গেলে ১ম দণ্ডটি 20s সময়ের মধ্যে থেমে যায়।

গ. মোটরটি বন্ধ হয়ে যাবার পর ১ম দণ্ডটি কতটি পূর্ণ ঘূর্ণন সম্পন্ন করবে?

1 m এবং 0.707 m দৈর্ঘ্যের দুটি সরু সুষম দণ্ডের ভরদ্বয় যথাক্রমে 10 kg এবং 20 kg এদের উভয়ই দৈর্ঘ্যের সাথে লম্বভাবে স্থাপিত এবং মধ্যবিন্দুগামী অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিমিনিটে যথাক্রমে 300 বার এবং 360 বার একটি মোটরের সাহায্যে সম-কৌণিক বেগে ঘুরছে। মোটরটি বন্ধ হয়ে গেলে ১ম দণ্ডটি 20s সময়ের মধ্যে থেমে যায়।

ঘ. ঘূর্ণনরত দণ্ডদ্বয়ের কৌণিক গতিশক্তির গাণিতিক তুলনা কর।

1000 kg ভরের একটি বাস 78125 J গতিশক্তি নিয়ে রাস্তায় চলার সময় হঠাৎ 145 m ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বাঁকের সম্মুখীন হলো, যা নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

গ. বাসটির ভরবেগ নির্ণয় কর।

1 m এবং 0.707 m দৈর্ঘ্যের দুটি সরু সুষম দণ্ডের ভরদ্বয় যথাক্রমে 10 kg এবং 20 kg এদের উভয়ই দৈর্ঘ্যের সাথে লম্বভাবে স্থাপিত এবং মধ্যবিন্দুগামী অক্ষের সাপেক্ষে প্রতিমিনিটে যথাক্রমে 300 বার এবং 360 বার একটি মোটরের সাহায্যে সম-কৌণিক বেগে ঘুরছে। মোটরটি বন্ধ হয়ে গেলে ১ম দণ্ডটি 20s সময়ের মধ্যে থেমে যায়।

ঘ. ঘূর্ণনরত দণ্ডদ্বয়ের কৌণিক গতিশক্তির গাণিতিক তুলনা কর।

1000 kg ভরের একটি বাস 78125 J গতিশক্তি নিয়ে রাস্তায় চলার সময় হঠাৎ 145 m ব্যাসার্ধ বিশিষ্ট একটি বাঁকের সম্মুখীন হলো, যা নিচের চিত্রে দেখানো হয়েছে।

ঘ. বাসটি গতিবেগ না কমিয়ে উদ্দীপকে প্রদর্শিত রাস্তার বাঁকটি নিরাপদে অতিক্রম করতে পারবে কি? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ - মতামত দাও।

রহিম 80 cm দৈর্ঘ্যের একখণ্ড সুতার এক প্রান্তে 200g ভরের একটি বস্তু বেঁধে বৃত্তাকার পথে প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরাচ্ছে। অপরদিকে করিম 60 cm দৈর্ঘ্যের অপর একখণ্ড সুতার এক প্রান্তে 150 g ভরের একটি বস্তু বেঁধে একইভাবে প্রতি মিনিটে 120 বার ঘুরাচ্ছে।

ঘ. উদ্দীপকের ঘটনায় রহিম ও করিম সুতায় সমান টান পেয়েছিল কি? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ কর।

রহিম 80 cm দৈর্ঘ্যের একখণ্ড সুতার এক প্রান্তে 200g ভরের একটি বস্তু বেঁধে বৃত্তাকার পথে প্রতি মিনিটে 90 বার ঘুরাচ্ছে। অপরদিকে করিম 60 cm দৈর্ঘ্যের অপর একখণ্ড সুতার এক প্রান্তে 150 g ভরের একটি বস্তু বেঁধে একইভাবে প্রতি মিনিটে 120 বার ঘুরাচ্ছে।

গ. রহিমের দ্বারা ঘুরানো বস্তুটির কৌণিক ভরবেগ নির্ণয় কর।