Questions in this chapter

$\vec{A}=3 \hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}, \vec{B}=\hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\vec{C}=\hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ হলে প্রমাণ কর যে, $\overrightarrow{\mathrm{A}} \cdot(\overrightarrow{\mathrm{B}} \times \overrightarrow{\mathrm{C}})=(\overrightarrow{\mathrm{A}} \times \overrightarrow{\mathrm{B}}) \cdot \overrightarrow{\mathrm{C}}$

দুটি ভেক্টর $\vec{P}=\hat{i} t^{2}-\hat{j} t+\hat{k}(2 t+1)$ এবং $\vec{Q}=\hat{i} 5 t+\hat{j} t$ $-\hat{\mathrm{k}}^{3} t^{3}$ হলে $\frac{\mathrm{d}}{d t}(\vec{P} \cdot \vec{Q})$ এবং $\frac{d}{d t}(\vec{P} \times \vec{Q})$ নির্ণয় কর ।

$\phi(x, y, z)=2 x z^{4}-x^{2} y$ হলে $(2,-2,-1)$ বিন্দুতে $\vec{\nabla} \phi$ ও $\mid \vec{\nabla}_{\phi}\mid$ নির্ণয় করো ।

$\vec{\nabla} \cdot\left(2 x^{2} z \hat{i}-x y^{2} z \hat{j}+3 y z^{2} \hat{k}\right)$ নির্ণয় করো।

$\phi=2 x^{3} y^{2} z^{4}$ হলে $\vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \phi$ নির্ণয় করো।

দেখাও যে , $\vec{A}=3 y^{4} z^{2} \hat{i}+4 x^{3} z^{2} \hat{j}-3 x^{2} y^{2} \hat{k}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি সলিনয়েডাল ।

$\vec{A}=3 x y z^{2} \hat{\mathbf{i}}+2 x y^{3} \hat{j}-x^{2} y z \hat{k}$ এবং $\phi \neq 3 x^{2}-y z$ হলে $(1,-1,1)$ বিন্দুতে নির্ণয় কর $\text { (a) } \vec{\nabla} \cdot \vec{A}(\text { (b) } \vec{A} \cdot \vec{\nabla} \phi(c) \vec{\nabla} \cdot(\phi \vec{A}) \text { (d) } \vec{\nabla} \cdot \vec{\nabla} \phi$

$\vec{A}=2 x^{2} \hat{i}-x y \hat{j}+3 x z^{3} \hat{k}$ এবং $\phi=x^{2} y z$ হলে $(1,1,1)$ বিন্দুতে নির্ণয় কর $\text { (a) } \vec{\nabla} \times \vec{A} \text { (b) } \vec{\nabla} \times(\phi \vec{A}) \text { (c) } \vec{\nabla} \times(\vec{\nabla} \times \vec{A})$

দেখাও যে, $\vec{A}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x^{2}-y\right) \hat{k}$ ভেক্টর ক্ষেত্রটি অঘূর্ণনশীল।

ঘনকের কর্ণ এবং এর যেকোন একটি পৃষ্ঠের কর্ণের মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

$\vec{u}$ কোন নির্দিষ্ট একক ভেক্টর হলে দেখাও যে, যেকোন ভেক্টর $\vec{b}$ এর জন্য, $b^{2}=(\vec{u} \cdot \vec{b})^{2}+|\vec{u} \times \vec{b}|^{2}$ । ফলাফলটি চিত্রের সাহায্যে ব্যাখ্যা করো।

একজন মাঝি 6 kmh-1 বেগে নৌকা চালাতে পারেন । 3 kmh-1 বেগে সরলরেখা বরাবর প্রবাহিত একটি নদীর এপার থেকে ওপারে ঠিক বিপরীত বিন্দুতে তার যাওয়ার প্রয়োজন।

গ. উদ্দীপকে উল্লেখিত মাঝিকে কোন দিকে নৌকা চালাতে হবে বের কর ।

একজন মাঝি $6 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে নৌকা চালাতে পারেন । $3 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে সরলরেখা বরাবর প্রবাহিত একটি নদীর এপার থেকে ওপারে ঠিক বিপরীত বিন্দুতে তার যাওয়ার প্রয়োজন।

ঘ. উদ্দীপকের মাঝি যদি সোজা নৌকা চালান তাহলে তিনি কেন বিপরীত বিন্দুতে যেতে পারবেন না- যুক্তি দিয়ে বোঝাও। তিনি সোজা নৌকা চালালে কোন দিকে কত বেগে যাবেন?

রেহান কলেজে ভেক্টরের ক্লাস শেষ করে বাসায় ফিরে দেখে তাদের লনে -ঘাস কাটা হচ্ছে আর তার বাবা সেটা তদারকি করছেন। একজন শ্রমিক একটি লন রোলারকে ঠেলে ঠেলে ঘাস কাটছেন আর তার বাবা আরো ভালো করে তাকে ঠেলতে বলছেন। রেহান তার বাবাকে বলল “আব্বু, উনি লন রোলারকে ঠেলছেন কেন? লন রোলারকে ঠেলার চেয়ে টানাতো সহজ এবং সেটা বেশি কার্যকরী হবে।

গ. একটি ভেক্টরকে পরস্পর দুটি লম্ব উপাংশে বিভক্ত কর।

রেহান কলেজে ভেক্টরের ক্লাস শেষ করে বাসায় ফিরে দেখে তাদের লনে -ঘাস কাটা হচ্ছে আর তার বাবা সেটা তদারকি করছেন। একজন শ্রমিক একটি লন রোলারকে ঠেলে ঠেলে ঘাস কাটছেন আর তার বাবা আরো ভালো করে তাকে ঠেলতে বলছেন। রেহান তার বাবাকে বলল “আব্বু, উনি লন রোলারকে ঠেলছেন কেন? লন রোলারকে ঠেলার চেয়ে টানাতো সহজ এবং সেটা বেশি কার্যকরী হবে।

ঘ. রেহান কেন তার বাবাকে লন রোলারকে ঠেলার চেয়ে টানা সহজ বলল- ব্যাখ্যা কর।

রনি ও সানির তর্ক হচ্ছিল যে, দুটি অসমান মানের ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে কিনা? রনি বলছিল অবশ্যই পারে, সানি বলছিল কখনোই না, এদের লব্ধির সর্বনিম্ন মান কখনোই শূন্য হবে না বড় জোড় দুটি ভেক্টরের মানের বিয়োগফল হতে পারে।

গ. দেখাও যে, একই বিন্দুতে ক্রিয়ারত দুটি ভেক্টর রাশির মান সমান হলে এদের লব্ধি ভেক্টর রাশিদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণকে সমদ্বিখণ্ডিত করে।

রনি ও সানির তর্ক হচ্ছিল যে, দুটি অসমান মানের ভেক্টরের লব্ধি শূন্য হতে পারে কিনা? রনি বলছিল অবশ্যই পারে, সানি বলছিল কখনোই না, এদের লব্ধির সর্বনিম্ন মান কখনোই শূন্য হবে না বড় জোড় দুটি ভেক্টরের মানের বিয়োগফল হতে পারে।

ঘ. রনি ও সানির মধ্যে কে সঠিক? গাণিতিকভাবে প্রমাণ কর ।

নওরিন বলছিল যে, দুটি ভেক্টরকে গুণ করে গুণফল স্কেলার রাশি বা ভেক্টর রাশি উভয়ই পাওয়া যেতে পারে। দুটি ভেক্টর রাশির গুণফল স্কেলার হয় এ কথাটা কিছুতেই নওশিন মানতে পারছিল না। সে কেবলই বলছে দুটি ভেক্টরের গুণফল ভেক্টরই হবে, নওরিন ও নওশিন দুজনেই যুক্তিতর্কে মেতে ওঠল।

ঘ. $\vec{A}=2 \hat{i}+\hat{j}-6 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=4 \hat{i}-6 \hat{j}+5 \hat{k}$ এই ভেক্টর দুটির স্কেলার ও ভেক্টর গুণফল নির্ণয় কর এবং নওরিন ও নওশিনের যুক্তিতর্কের সমাধান দাও।

$\vec{A}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-4 \hat{j}-6 \hat{k}$

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ -এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় কর।

$\vec{A}=4 \hat{i}+2 \hat{j}-3 \hat{k}$ এবং $\vec{B}=2 \hat{i}-4 \hat{j}-6 \hat{k}$

ঘ. যেকোনো দুটি ভেক্টরের গুণফল দিয়ে চারটি বাহু দ্বারা সীমাবদ্ধ একটি ক্ষেত্রের ক্ষেত্রফল পাওয়া যায়- এই উক্তির যথার্থতা প্রমাণ কর।