Questions in this chapter

গ. ভেক্টর দুটির লব্ধি নির্ণয় করো।

ঘ. $(\overrightarrow{\mathrm{A}}-\overrightarrow{\mathrm{B}})$ ভেক্টরটি $\rm{X}$ অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করে? প্রয়োজনীয় চিত্রসহ ব্যাখ্যা করো।

চিত্রে $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}} ~ও~\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}$ বলদ্বয় $\rm{O}$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

ঘ. $\rm{\overrightarrow{F_{1}} + \overrightarrow{F_{2}}}$ ও $\rm{\overrightarrow{F_{1}} - \overrightarrow{F_{2}}}$ পরস্পর লম্ব কি না যাচাই করো।

চিত্রে $\overrightarrow{\mathrm{F}_{1}} ~ও~\overrightarrow{\mathrm{F}_{2}}$ বলদ্বয় $\rm{O}$ বিন্দুতে ক্রিয়াশীল।

গ. $\rm{\overrightarrow{F_{1}} \times \overrightarrow{F_{2}}}$ বের করো।

একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে। ও ভেক্টর অপর একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে, যেখানে $\rm{\overrightarrow{P}=3\overrightarrow{A}}$ এবং $\rm{\overrightarrow {Q}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B}}$।

গ. $\rm{\overrightarrow{A}}$ ও $\rm{\overrightarrow{B}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ নির্ণয় করো।

একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে। ও ভেক্টর অপর একটি ত্রিভুজের দুটি সন্নিহিত বাহু নির্দেশ করে, যেখানে $\rm{\overrightarrow{P}=3\overrightarrow{A}}$ এবং $\rm{\overrightarrow {Q}=\dfrac{1}{2} \overrightarrow{B}}$।

ঘ. উদ্দীপকে উল্লিখিত ত্রিভুজদ্বয়ের মধ্যে কোনটি অধিক জায়গা দখল করবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

শান্ত একটি কলেজের ছাত্র। তার বাড়ির পাশ দিয়ে $1 \rm{~km}$ প্রশস্ত একটি নদী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার $5$ মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে $120^\circ$ কোণে $12~ \rm{kmh}$ বেগে একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা হলো।

গ. নদীতে স্রোতের বেগ নির্ণয় করো।

শান্ত একটি কলেজের ছাত্র। তার বাড়ির পাশ দিয়ে $1 \rm{~km}$ প্রশস্ত একটি নদী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার $5$ মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে $120^\circ$ কোণে $12~ \rm{kmh}$ বেগে একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা হলো।

ঘ. শান্ত কি যথাসময়ে ক্লাসে উপস্থিত হতে পারবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

$4 \rm{~km}$ প্রস্থ একটি নদীর পাড়ের '$\rm{A}$' বিন্দু হতে $12 \rm{~km/hr}$ বেগে একটি নৌকা নদীর অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করলো। একজন লোক নৌকা চলার শুরু হতে অপর পাড়ের '$\rm{B}$' বিন্দুতে $20$ মিনিট অপেক্ষা করে চলে গেল। নদীতে স্রোতের বেগ $6 \rm{~kmh}^{-1}$

গ. নৌকার লব্ধি বেগের মান নির্ণয় কর।

$4 \rm{~km}$ প্রস্থ একটি নদীর পাড়ের '$\rm{A}$' বিন্দু হতে $12 \rm{~km/hr}$ বেগে একটি নৌকা নদীর অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য যাত্রা শুরু করলো। একজন লোক নৌকা চলার শুরু হতে অপর পাড়ের '$\rm{B}$' বিন্দুতে $20$ মিনিট অপেক্ষা করে চলে গেল। নদীতে স্রোতের বেগ $6 \rm{~kmh}^{-1}$

ঘ. উদ্দীপকে অপেক্ষমান লোকটির সাথে নৌকার সাক্ষাৎ হবে কিনা? গাণিতিকভাবে যাচাই কর।

রবিনদের বাড়ির সামনে $1000 \rm{~m}$ প্রশস্ত একটি নদী স্রোতঃস্বিনী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি নদীর ঠিক অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার ঠিক $10$ মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে $120^\circ$ কোণে $10 \rm{kmh}^{-1}$ বেগের একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা দিলো এবং সোজা অপর পাড়ে গিয়ে কলেজে পৌঁছালো । [নদীর পাড় হতে কলেজের দূরত্ব নগন্য বিবেচনা করতে হবে]

গ. উদ্দীপক অনুসারে নদীতে স্রোতের বেগ কত?

রবিনদের বাড়ির সামনে $1000 \rm{~m}$ প্রশস্ত একটি নদী প্রবাহিত। বাড়ির সোজাসুজি নদীর ঠিক অপর পাড়ে তার কলেজ। একদিন সকালে সে ক্লাস শুরু হওয়ার ঠিক $10$ মিনিট পূর্বে স্রোতের বেগের সাথে $120^\circ$ কোণে $10 \rm{kmh}^{-1}$ বেগের একটি নৌকায় কলেজের উদ্দেশ্যে রওনা দিলো এবং সোজা অপর পাড়ে গিয়ে কলেজে পৌঁছালো । [নদীর পাড় হতে কলেজের দূরত্ব নগন্য বিবেচনা করতে হবে]

ঘ. রবিন কি যথাসময়ে ক্লাসে উপস্থিত হতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

চিত্রে দুটি বিন্দু $\text{P ও Q}$ এর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে। $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ যথাক্রমে বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যবর্তী কোণ $\theta$ এর মান নির্ণয় করো।

চিত্রে দুটি বিন্দু $\text{P ও Q}$ এর স্থানাঙ্ক দেওয়া আছে। $\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ যথাক্রমে বিন্দুদ্বয়ের অবস্থান ভেক্টর নির্দেশ করে।

ঘ. $\overrightarrow{\mathrm{OP}},~\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$ ভেক্টর তিনটি একই সমতলে অবস্থান করে কি না গাণিতিকভাবে যাচাই করো।

নিচে তিনটি ভেক্টর দেওয়া আছে।

$\hspace{1.5 cm} \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{B}}=5 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}}\\ \overrightarrow{\mathrm{C}}=4 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}} \end{array}$

গ. $\overrightarrow{\rm{A}}$ এবং $\overrightarrow{\rm{C}}$ এর মধ্যবর্তী কোণ কত?

নিচে তিনটি ভেক্টর দেওয়া আছে।

$\hspace{1.5 cm} \begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{A}}=2 \hat{\mathrm{i}}+3 \hat{\mathrm{j}}+4 \hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{B}}=5 \hat{\mathrm{i}}-\hat{\mathrm{j}}+6 \hat{\mathrm{k}}\\ \overrightarrow{\mathrm{C}}=4 \hat{\mathrm{i}}+2 \hat{\mathrm{j}}-3 \hat{\mathrm{k}} \end{array}$

ঘ. ভেক্টর $\overrightarrow{\rm{A}}$ এবং $\overrightarrow{\rm{B}}$ পরস্পর একই দিকে ক্রিয়াশীল কি না তা যাচাই করো।

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য করো যেখানে ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় $\rm{A} (3, 3, 1)$ এবং $\rm{B} (4, 5, 1)$ দুটি বিন্দু।

গ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ এর সমান্তরাল একটি একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

নিচের উদ্দীপকটি লক্ষ্য করো যেখানে ত্রিমাত্রিক স্থানাংক ব্যবস্থায় $\rm{A} (3, 3, 1)$ এবং $\rm{B} (4, 5, 1)$ দুটি বিন্দু।

ঘ. $\text{O, A ও B}$ বিন্দুসমূহের সংযোগে গঠিত ত্রিভুজটি একটি সমকোণী ত্রিভুজ কি না— গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক তোমার মতামত দাও।

30° কোণে আনত একটি পাহাড়ের ঢাল বেয়ে 72 km/h সমবেগে একটি বাস উপরে উঠছে। এমন সময় হঠাৎ বৃষ্টি 6 m/s সমবেগে খাড়া নিচে পড়তে শুরু করল। বৃষ্টি যখন প্রায় শেষ তখন অনুভূমিকভাবে বায়ুপ্রবাহ শুরু হলো ।

গ. শুরুতে বাসচালক কত কোণে বৃষ্টি পড়তে দেখবে নির্ণয় কর।

30° কোণে আনত একটি পাহাড়ের ঢাল বেয়ে 72 km/h সমবেগে একটি বাস উপরে উঠছে। এমন সময় হঠাৎ বৃষ্টি 6 m/s সমবেগে খাড়া নিচে পড়তে শুরু করল। বৃষ্টি যখন প্রায় শেষ তখন অনুভূমিকভাবে বায়ুপ্রবাহ শুরু হলো ।

ঘ. বায়ুপ্রবাহের দরুণ বাসচালক খাড়া নিচের দিকে একই বেগে বৃষ্টি পড়তে দেখলে বৃষ্টি পড়ার প্রকৃত মান ও দিক বিশ্লেষণ কর।