Questions in this chapter

$p(x, y, z)=2 x y^{4}-x^{2} z$ একটি স্কেলার রাশি এবং $\vec{A}=(2 x+y) \hat{i} +\left(3 y+z^{2}\right) \hat{j}+(-5 z+x) \hat{k}$ একটি ভেক্টর রাশি এবং $\vec{B}=(6 x y+ \left.z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}-y\right) \hat{k}$ অপর একটি ভেক্টর রাশি।

ঘ. উদ্দীপকে বর্ণিত $\overrightarrow{\mathbf{A}}$ ও $\overrightarrow{\mathbf{B}}$ ভেক্টরদ্বয়ের মধ্যে কোনটি সলিনয়ডাল এবং কোনটি অঘূর্ণনশীল তা গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে যাচাই করো।

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

গ. উদ্দীপকের $\overrightarrow{O A}$ ভেক্টরটি Y অক্ষের সাথে কত কোণ উৎপন্ন করবে?

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও :

ঘ. উদ্দীপকের $\overrightarrow{O A}$ এবং $\overrightarrow{O B}$ ভেক্টরদ্বয় পরস্পর লম্ব কিনা— গাণিতিকভাবে যাচাই করো।

চিত্রে তিনটি সমতলীয় ভেক্টর O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল রয়েছে।

গ. $\overrightarrow{F_{1}}$ ও $\overrightarrow{F_{2}}$ ভেক্টর দুটি একটি সামান্তরিকের দু'টি বাহু নির্দেশ করলে সামান্তরিকটির ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

চিত্রে তিনটি সমতলীয় ভেক্টর O বিন্দুতে ক্রিয়াশীল রয়েছে।

ঘ. $\overrightarrow{F_{1}},\overrightarrow{F_{2}}$ ও $\overrightarrow{F_{3}}$ ভেক্টর তিনটির মিলিত ফল কোন দিকে ক্রিয়া করবে? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মন্তব্য করো।

দেওয়া আছে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র$-$

$\vec{A}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}-y\right) \hat{k}$

গ. (2, 1, – 1) বিন্দুতে $\vec{A}$ এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করো।

দেওয়া আছে একটি ভেক্টর ক্ষেত্র$-$

$\vec{A}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}-y\right) \hat{k}$

ঘ. গাণিতিক বিশ্লেষণের সাহায্যে দেখাও যে, $\vec{A}$ ভেক্টরটি সলিনয়ডাল নাকি সংরক্ষণশীল হবে?

কোনো একদিন সেলিম ও মুরাদ কোনো স্থানে দণ্ডায়মান ছিল। তখন বাতাসের বেগ 5 $\mathrm{ms}^{-1}$ যা দক্ষিণ থেকে উত্তরে প্রবাহিত হচ্ছিল। এমন সময় 3 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে বৃষ্টি পড়তে শুরু করলো । বৃষ্টি শুরু হবার পর সেলিম দক্ষিণ থেকে উত্তরে এবং মুরাদ উত্তর থেকে দক্ষিণে 7 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে চলতে শুরু করলো।

গ. দণ্ডায়মান অবস্থায় বৃষ্টি তাদের গায়ে কত বেগে আঘাত করবে?

$10 \mathrm{~km}$ প্রস্থবিশিষ্ট একটি নদীতে স্রোতের বেগ $5 \mathrm{~kmh}^{-1}$। প্রথম মাঝি $10 \mathrm{~kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে এবং ২য় মাঝি $10 \mathrm{~kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে নদী পার হতে যাত্রা করল।

ঘ. কোন মাঝি নদীর অপর পাড়ে আগে পৌঁছাতে পারবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও।

কোনো একদিন সেলিম ও মুরাদ কোনো স্থানে দণ্ডায়মান ছিল। তখন বাতাসের বেগ 5 $\mathrm{ms}^{-1}$ যা দক্ষিণ থেকে উত্তরে প্রবাহিত হচ্ছিল। এমন সময় 3 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে বৃষ্টি পড়তে শুরু করলো । বৃষ্টি শুরু হবার পর সেলিম দক্ষিণ থেকে উত্তরে এবং মুরাদ উত্তর থেকে দক্ষিণে 7 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে চলতে শুরু করলো।

ঘ. চলমান অবস্থায় বৃষ্টি থেকে রক্ষা পেতে দুই বন্ধুকে একই কোণে ছাতা ধরতে হবে কি-না- গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করো।

$\rm{\overrightarrow{A}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}, \overrightarrow{B}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}}$ এবং $\rm{\overrightarrow{C}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}}$

গ. $\overrightarrow{\rm{B}}\text{ ও } \overrightarrow{\rm{A}}$ ভেক্টর দ্বারা গঠিত সামান্তরিকের ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

ঘ. $\rm{\triangle A O B}$ সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করবে কী-না — গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

$\rm{\overrightarrow{A}=2 \hat{i}+4 \hat{j}+2 \hat{k}, \overrightarrow{B}=3 \hat{i}+3 \hat{j}+4 \hat{k}}$ এবং $\rm{\overrightarrow{C}=\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}}$

ঘ. উদ্দীপকের ভেক্টর তিনটি সমতলীয় কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

গ. উদ্দীপকের আলোকে $\rm{\angle A O B}$ নির্ণয় করো।

$\hspace{1.6 cm}\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{A}}=4 \hat{\mathrm{i}}+\hat{2 \mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{C}}=4 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}} \end{array}$

গ. $\rm{\overrightarrow{C}}$ বরাবর $\rm{\overrightarrow{B}}$ এর লম্ব অভিক্ষেপ নির্ণয় করো।

$\hspace{1.6 cm}\begin{array}{l} \overrightarrow{\mathrm{A}}=4 \hat{\mathrm{i}}+\hat{2 \mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{B}}=\hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}-\hat{\mathrm{k}} \\ \overrightarrow{\mathrm{C}}=4 \hat{\mathrm{i}}-2 \hat{\mathrm{j}}+\hat{\mathrm{k}} \end{array}$

ঘ. $\rm{|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{B}|>|\overrightarrow{B}-\overrightarrow{C}|>|\overrightarrow{A}-\overrightarrow{C}| ;}$ সঠিক$/$সঠিক নয়$-$ যাচাই করো।

উভয় চিত্রে $\rm{v}=$ নৌকার বেগ $=6 \mathrm{~ms}^{-1}$

$\rm{R} =$ লব্ধি বেগ।

ঘ. কোন চিত্রানুসারে নদী পার হতে কম সময় লাগবে? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

উভয় চিত্রে $\rm{v}=$ নৌকার বেগ $=6 \mathrm{~ms}^{-1}$

গ. চিত্র 'ক' থেকে লব্ধি বেগ $\rm{R}$ নির্ণয় করো।

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

গ. $\angle \mathrm{BAC}$ কোণ নির্ণয় করো।

চিত্রটি লক্ষ করো এবং নিচের প্রশ্নগুলোর উত্তর দাও:

ঘ. $\overrightarrow{\mathrm{AB}}, ~\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{CA}}$ ভেক্টরত্রয় একই সমতলে থাকবে কি-না? গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।