Questions in this chapter

ত্রিমাত্রিক স্থানাঙ্ক ব্যবস্থায় দুটি বিন্দুর স্থানাঙ্ক যথাক্রমে P (1, 2, 1) ও Q (2, 1, 1)। বিন্দু দুটির জন্য সৃষ্ট অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\overrightarrow{OP}$ ও $\overrightarrow{OQ}$। অবস্থান ভেক্টরদ্বয়কে সন্নিহিত বাহু ধরে সামান্তরিক অংকন করলে R বিন্দুর স্থানাঙ্ক R (1, 1, 2) হয়।

ঘ. উদ্দীপকের $\Delta$POR সমকোণী ত্রিভুজ গঠন করে কি-না$-$ গাণিতিক ব্যাখ্যা করো।

অরুণ মাঝি $8 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে নৌকা চালিয়ে নদীর প্রস্থ বরাবর পার হয়। বরুণ মাঝি একই বেগে নদীর প্রস্থ বরাবর নৌকা চালায় । নদীর প্রস্থ 2 km।

গ. উদ্দীপকে অরুণ মাঝিকে কোন দিকে নৌকা চালাতে হয়েছিল?

অরুণ মাঝি $8 \mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে নৌকা চালিয়ে নদীর প্রস্থ বরাবর পার হয়। বরুণ মাঝি একই বেগে নদীর প্রস্থ বরাবর নৌকা চালায় । নদীর প্রস্থ 2 km।

ঘ. উদ্দীপকের কোন মাঝি কম সময়ে নদী পার হবে? গাণিতিকভাবে ব্যাখ্যা করো।

তিনটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$, $\vec{B}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}-\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}\right. -y) \hat{k} \text {. }$

ঘ. উদ্দীপকে $\vec{C}$ ভেক্টরটি অঘূর্ণনশীল কি না যাচাই করো।

তিনটি ভেক্টর রাশি যথাক্রমে $\vec{A}=2 \hat{i}+2 \hat{j}-\hat{k}$, $\vec{B}=6 \hat{i}-3 \hat{j}+2 \hat{k}$ এবং $\overrightarrow{\mathrm{c}}=\left(6 x y+z^{3}\right) \hat{i}-\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}\right. -y) \hat{k} \text {. }$

গ. $\vec{A}$ ও $\vec{B}$ ভেক্টরদ্বয়ের লম্বদিকে একক ভেক্টর নির্ণয় করো।

চিত্রের P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{P}$ ও $\vec{Q}.$

গ. $\triangle \mathrm{OPQ}$ এর ক্ষেত্রফল নির্ণয় করো।

চিত্রের P ও Q বিন্দুর অবস্থান ভেক্টর যথাক্রমে $\vec{P}$ ও $\vec{Q}.$

ঘ. $\overrightarrow{\mathrm{P}} + \overrightarrow{\mathrm{Q}}$ ও $\overrightarrow{\mathrm{P}} - \overrightarrow{\mathrm{Q}}$ ভেক্টরদ্বয় +Y অক্ষের সাথে সমান কোণ উৎপন্ন করে কি-না? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক মতামত দাও।

চিত্রে স্রোতের নদীতে একজন লোক এক পাড় হতে অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য 4 $kmh^{-1}$ বেগে AC বরাবর নৌকা চালানো শুরু করে সে অপর পাড়ে D বিন্দুতে পৌঁছে। BD = 0.5 km, নদীর প্রস্থ = AB.

গ. নদীর প্রস্থ AB নির্ণয় করো।

চিত্রে স্রোতের নদীতে একজন লোক এক পাড় হতে অপর পাড়ে যাওয়ার জন্য 4 $kmh^{-1}$ বেগে AC বরাবর নৌকা চালানো শুরু করে সে অপর পাড়ে D বিন্দুতে পৌঁছে। BD = 0.5 km, নদীর প্রস্থ = AB.

ঘ. AC বরাবর নৌকা চালানো শুরু করলে অপর পাড়ে পৌঁছতে যে সময় লাগে একই বেগে AB বরাবর নৌকা চালানো শুরু করলে অপর পাড়ে পৌঁছতে তার চেয়ে, কম নাকি বেশি সময় লাগবে? গাণিতিক বিশ্লেষণপূর্বক উত্তরের স্বপক্ষে মতামত দাও।

2.2 km প্রস্থের একটি নদীতে স্রোতের বেগ 3$\mathrm{kmh}^{-1}$। সাঁতার প্রতিযোগিতায় নদী পাড়ি দেওয়ার লক্ষ্যে প্রথম সাঁতারু 5 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে চিত্র-১ অনুসারে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু একই, বেগে চিত্র-২ অনুসারে সাঁতার আরম্ভ করলো।

গ. প্রথম সাঁতারুর লব্ধি বেগ নির্ণয় করো।

2.2 km প্রস্থের একটি নদীতে স্রোতের বেগ 3$\mathrm{kmh}^{-1}$। সাঁতার প্রতিযোগিতায় নদী পাড়ি দেওয়ার লক্ষ্যে প্রথম সাঁতারু 5 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে চিত্র-১ অনুসারে এবং দ্বিতীয় সাঁতারু একই, বেগে চিত্র-২ অনুসারে সাঁতার আরম্ভ করলো।

ঘ. উক্ত সাঁতার প্রতিযোগিতার ফলাফল গাণিতিকভাবে বিশ্লেষণ করো।

গ. বল দুটির লব্ধি X-অক্ষের সাথে যে কোণে ক্রিয়াশীল তা নির্ণয় করো।

ঘ. বল দুটির লব্ধির অনুভূমিক উপাংশ ও উলম্ব উপাংশের মধ্যে কোনটি বেশি? তোমার মতামত গাণিতিক যুক্তিসহ দাও।

একদিন একটি অঞ্চলের তাপমাত্রা ও বাতাসের বেগ পাওয়া গেল যথাক্রমে, $Q=2 x y^{2} z^{3}-4 x y ~ও~ \vec{V}=\left(y^{2} \cos x+z^{3}\right) \hat{i}+(2 y(\sin x-4) \hat{j}+\left(3 x z^{2}+2\right) \hat{k}$

ঘ. ঐদিন ঐ অঞ্চলের বাতাসে কোনো ঘূর্ণন ছিলো কিনা তা গানিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মত দাও।

একদিন একটি অঞ্চলের তাপমাত্রা ও বাতাসের বেগ পাওয়া গেল যথাক্রমে, $Q=2 x y^{2} z^{3}-4 x y ~ও~ \vec{V}=\left(y^{2} \cos x+z^{3}\right) \hat{i}+(2 y(\sin x-4) \hat{j}+\left(3 x z^{2}+2\right) \hat{k}$

গ. (1, −1, 2) বিন্দুতে ঐ অঞ্চলের তাপমাত্রার গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করো।

500 m প্রস্থের একটি নদীতে 6 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোত প্রবাহিত হচ্ছে। এই নদীটি মাহীর ও নিধি প্রতিযোগিতার উদ্দেশ্যে সাঁতার কেটে পার হওয়ার সিদ্ধান্ত নিলো। মাহীর 10 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে এবং নিধি 9 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে সাঁতার কাটতে শুরু করলো।

গ. $\alpha$-কোণের মান কত হলে মাহীর সোজাসুজি নদীর অপর পাড়ে পৌঁছাবে?

500 m প্রস্থের একটি নদীতে 6 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোত প্রবাহিত হচ্ছে। এই নদীটি মাহীর ও নিধি প্রতিযোগিতার উদ্দেশ্যে সাঁতার কেটে পার হওয়ার সিদ্ধান্ত নিলো। মাহীর 10 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে $\alpha$ কোণে এবং নিধি 9 $\mathrm{kmh}^{-1}$ বেগে স্রোতের সাথে লম্বভাবে সাঁতার কাটতে শুরু করলো।

ঘ. উদ্দীপক অনুসারে কে জিতবে? গাণিতিক বিশ্লেষণসহ মতামত দাও ৷

কোনো একদিন 10 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে খাড়াভাবে বৃষ্টি পড়ছিল। এ সময় একজন ব্যক্তি 20 ms-1 বেগে গাড়ি চালিয়ে যাচ্ছিলেন।

গ. গাড়ি চালক বৃষ্টির বেগ কত পরিলক্ষিত করবেন?

কোনো একদিন 10 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে খাড়াভাবে বৃষ্টি পড়ছিল। এ সময় একজন ব্যক্তি $20 ms^{-1}$ বেগে গাড়ি চালিয়ে যাচ্ছিলেন।

ঘ. যদি গাড়ির গতির বিপরীত দিকে 25 $\mathrm{ms}^{-1}$ বেগে বায়ুপ্রবাহ চলে তবে ঐ ব্যক্তি দুই ক্ষেত্রে বৃষ্টি বেঁকে পড়ার পরিমাপ একই পরিলক্ষিত করবেন কি? গাণিতিক বিশ্লেষণের মাধ্যমে মতামত উপস্থাপন করো।

$p(x, y, z)=2 x y^{4}-x^{2} z$ একটি স্কেলার রাশি এবং $\vec{A}=(2 x+y) \hat{i} +\left(3 y+z^{2}\right) \hat{j}+(-5 z+x) \hat{k}$ একটি ভেক্টর রাশি এবং $\vec{B}=(6 x y+ \left.z^{3}\right) \hat{i}+\left(3 x^{2}-z\right) \hat{j}+\left(3 x z^{2}-y\right) \hat{k}$ অপর একটি ভেক্টর রাশি।

গ. (2,− 1, −2) বিন্দুতে p এর গ্রেডিয়েন্ট নির্ণয় করো।