Questions in this chapter

একটি হেলানো তলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়াশীল যথাক্রমে $Q$ ও $P$ মানের দুইটি পৃথক বল প্রত্যেকে $W$ ওজনের কোন বস্তুকে তলের উপর স্থির রাখতে পারে।

প্রমাণ কর যে, $\mathrm{W}=\frac{\mathrm{PQ}}{\sqrt{\mathrm{P}^{2}-\mathrm{Q}^{2}}}$

ABC ত্রিভূজের $BC, CA, AB$ বাহুর দৈর্ঘ্য যথাক্রমে $13, 12$, ও $5$ একক। $A, B, C$ বিন্দুতে $F$ বলের মোমেন্ট যথাক্রমে $0, –25$ ও $144$ হলে $F$ এর মান, দিক ও ক্রিয়া রেখা নির্ণয় কর।

$16 m$ দৈর্ঘ্য বিশিষ্ট $200 kg$ ওজনের একটি সুষম বীমের দুই প্রান্তে রাখা দুইটি অবলম্বনের উপর বীমটি সাম্যাবস্থায় আছে। $160 - kg$ ওজনের একটি লোক বীমটির উপর কোথায় দাঁড়ালে অবলম্বন দুইটির উপর বলের পরিমাণের অনুপাত $1 : 2$

একটি সুষম দন্ডের ভর $20kg$ এক প্রান্তে $60 kg$ ভরের একটি বস্ত্র ঝুলালে ঐ প্রান্ত হতে $40cm$ দূরে ঠেকা দিয়ে (বাস্তবে তা সম্ভব নয়) দন্ডটিকে অনুভূমিক অবস্থায় সাম্যে রাখা যায়। দন্ডটির দৈর্ঘ্য কত?

$ABC$ সমবাহু ত্রিভুজের $CB, CA$ ও $AB$ বাহু বরাবর যথাক্রমে তিনটি বল $P, Q$ ও $R$ ক্রিয়া করে। এদের লব্ধি যদি ভরকেন্দ্রগামী এবং $BC$ এর সমান্তরাল হয়, তবে প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{2} P=Q=R$

$AB$ দন্ডের $O$ বিন্দুতে সূতা বেঁধে ঘরের ছাদ হতে ঝুলানো হলো। $A$ প্রান্তে $5$ কেজি এবং $B$ প্রান্তে $8$ কেজি ওজনের বস্তুকে ঝুলালে দন্ডটি সাম্য অবস্থায় থাকে। A প্রান্তে $112$ কেজি ওজনের বস্তু ঝুলালে দণ্ডটিকে সাম্য অবস্থায় রাখতে $B$ প্রান্তে কত ওজনের বস্তু ঝুলাতে হবে?

$P$ এবং $Q$ দুইটি সমান্তরাল এবং সদৃশ বল। $P$ বলের ক্রিয়া রেখাকে ইহার সমান্তরাল বরাবর $Q$ বলের দিকে $'x'$ দূরত্বে সরানো হলে, ইহাদের লব্ধি $'d'$ দূরত্বে সরে যায়। প্রমাণ করতে হবে যে, $d=\frac{P x}{P+Q}$

$50$ কিলোগ্রাম ওজনের একটি বস্তুকে দুইটি রশিতে বেঁধে দুই ব্যক্তি বহন করছে। উলম্ব রেখার সাথে একটি রশি $75°$ এবং অপরটি $30°$ কোণ উৎপন্ন করে । প্রত্যেকটি রশিতে টানের পরিমাণ নির্ণয় কর।

$3$ টি সমমানের সমতলীয় বল পরস্পরের সাথে $120°$ কোণ উৎপন্ন করে। বল তিনটির লব্ধির মান নির্ণয় কর ।

$14 m$ দীর্ঘ ও $60 kg$ ওজনের একটি সুষম পাইপ $A$ ও $B$ দুই ব্যক্তি বহন করছে। $A$ এর অবস্থান পাইপের এক প্রান্ত হতে $2m$ দূরে এবং $B$ এর অবস্থান পাইপের অপর প্রান্ত হতে $1m$ দূরে । পাইপের ওজন $A$ ও $B$ এর মধ্যে কিভাবে ভাগ হবে তা নির্ণয় কর।

অনুভূমিকের সাথে $60°$ কোণে আনত একটি মসৃণ তলের উপর $50$ কেজি ভরের একটি বস্তু আছে। তলের পাদদেশ হতে $20$ মিটার দূরে অনুভূমিকের উপর রক্ষিত একটি রোয়ার দিয়ে অনুভূমিকের সাথে $45°$ কোণে বস্তুটির উপর সরাসরি বায়ু চালনা করে বস্তুটিকে স্থির রাখা হয়েছে। ব্লোয়ার হতে নির্গত বায়ু কর্তৃক প্রযুক্ত চাপ নির্ণয় কর।

একই রকম দণ্ড দ্বারা গঠিত $ABC$ ত্রিভুজের $CA$ বাহু অপসারণ করা হলো এবং অবশিষ্টাংশকে A বিন্দুতে ঝুলানো হলো।

সাম্যাবস্থায় $BC$ বাহু অনুভূমিক হলে দেখাও যে,$\sin C=\sqrt{2} \sin \frac{1}{2} B$

$100 Kg$ ওজনের $16$ মিটার দীর্ঘ একটি সমরূপ তক্তা দুজন লোক মাথায় করে বহন করে। একজন এর একপ্রান্ত থেকে $2$ মিটার দূরে এবং অন্যজন অপর প্রান্ত থেকে $3$ মিটার দূরে থাকলে প্রত্যেকে কি পরিমাণ ওজন বহন করবে তা নির্ণয় কর।

$P$ ও $Q$ মানের দুটি সমুখী সমান্তরাল বলের লব্ধি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে। $P$ কে $R$ পরিমাণ এবং $Q$ কে $S$ পরিমাণ বৃদ্ধি করলেও লব্ধি $O$ বিন্দুতে ক্রিয়া করে।

আবার $P$ ও $Q$ কে যথাক্রমে $Q$ ও R দ্বারা পরিবর্তন করলেও লব্ধি একই বিন্দুতে কাজ করে। দেখাও

যে, $\mathrm{S}=\mathrm{R}-\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R})^{2}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}}$\

$\Rightarrow\frac{Q-R}{R-S}=\frac{Q}{R}$ [তৃতীয় ও চতুর্থ] $\Rightarrow\frac{P-Q}{Q-R}=\frac{Q}{R}$ [প্রথম ও তৃতীয়]

$\therefore \mathrm{R}-\mathrm{S}=\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R})^{2}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}} \therefore \mathrm{S}=\mathrm{R}-\frac{(\mathrm{Q}-\mathrm{R})^{2}}{\mathrm{P}-\mathrm{Q}} \text { (Showed) }$

$\triangle \mathrm{ABC}$ এর মধ্যস্থ কোন বিন্দু হতে $BC, CA, AB$ বাহুত্রয়ের উপর লম্ব বরাবর কার্যরত $P, Q, R$ বলত্রয় সাম্যাবস্থায় আছে।

দেখাও যে, $P: Q: R=\sin A: \sin B: \sin C$

$10$ কেজি ওজনের একটি বস্তুকে অনুভূমিক দিকে কার্যরত $5$ কেজি ওজনের একটি বল, অনুভূমিকের সঙ্গে $60°$ কোণে ক্রিয়ারত $F$ বল

এবং $F$ এর উপর লম্বভাবে কার্যরত R বল সাম্যাবস্থায় রেখেছে। প্রমাণ কর যে, $F-\sqrt{3} R+10=0$ এবং $\sqrt{3} F+R-20=0$

$100 \ell b$ ভরের একটি বস্তুকে দুটি রশির সাহায্যে বেঁধে ঝুলান হল। রশিদ্বয় উলম্বের সাথে যথাক্রমে $60°$ ও $45°$ কোণে আনত। রশিদ্বয়ের টান নির্ণয় কর।

$P$ ও $Q$ বলদ্বয় যথাক্রমে একটি হেলানো তলের দৈর্ঘ্য ও ভূমির সমান্তরালে ক্রিয়ারত থাকলে প্রত্যেকে পৃথকভাবে তলের উপর $W$

ওজনের একটি বস্তুকে ধরে রাখতে পারে। প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{\mathrm{P}^{2}}-\frac{1}{\mathrm{Q}^{2}}=\frac{1}{\mathrm{~W}^{2}}$

একটি লোক লাঠির এক প্রান্তে একটি বোঝা কাঁধে বহন করছে। বোঝাটির ওজন $w$ এবং লোকটির কাঁধ হতে বোঝাটি ও লোকটির

হাতের দূরত্ব যথাক্রমে $a$ এবং $x$ হলে দেখাও যে, তার কাঁধের উপর চাপ $w\left(1+\frac{a}{x}\right)$ হবে।

$\mathrm{m}_{1}=0.5 \mathrm{~kg}$ এবং $\mathrm{m}_{2}=1.0 \mathrm{~kg}$ দুইটি অসম বস্তু একটি পুলিতে সুতা (ভর শূন্য) দ্বারা ঝুলানো আছে। বস্তু দুটির ত্বরণ ও সুতার উপর টান বের কর